Hạt nhân của L là không gian con của tập nguồn V.[3][3] Với ánh xạ L : V → W, hai phần tử của V có cùng ảnh trong W khi và chỉ khi hiệu của chúng thuộc hạt nhân của L:

L ( v 1 ) = L ( v 2 ) ⟺ L ( v 1 − v 2 ) = 0 . {\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} .}

Từ đó, ảnh của L là đẳng cấu với không gian thương của V trên hạt nhân:

im ⁡ ( L ) ≅ V / ker ⁡ ( L ) . {\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}

Trong trường hợp V là không gian hữu hạn chiều, điều này dẫn đến định lý về hạng và số vô hiệu (rank–nullity theorem):

dim ⁡ ( ker ⁡ L ) + dim ⁡ ( im ⁡ L ) = dim ⁡ ( V ) . {\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}

trong đó, hạng hay rank chính là số chiều của ảnh của L, còn số vô hiệu hay nullity là số chiều của hạt nhân của L.[4]

Nếu V là một không gian tích trong, không gian thương V / ker(L) có thể được xác định là phần bù trực giao của ker(L) trong V. Đây là sự tổng quát hóa cho toán tử tuyến tính của không gian hàng, hay đối ảnh của một ma trận.